Efter tjugo minuter hittade Andy Robertson in till Roberto Firmino i straffområdet. Anfallaren vände om och tryckte in ledningsmålet i nättaket.
Precis innan halvtid blev Salah fri i straffområdet och gick på ett hårt avslut i första stolpen. Målvakten slängde sig åt fel håll och var aldrig nära.
Salah gjorde senare sitt andra mål i matchen från straffpunkten efter att domaren tyckt att Sadio Mané stängts av Stojkovic, vilket möttes av högljudda protester från bortalaget. Målet var Salahs 50:e i Liverpooltröjan, som gör honom till den Liverpoolspelare som snabbast tagit sig till den siffran då han klarade det i bara 65 matcher.
- Jag är väldigt glad över att ha gjort 50 mål för Liverpool. Men som jag sa innan, så är laget viktigast. Jag är glad att jag hjälpte laget att vinna, säger Salah till Uefas hemsida efter matchen.
Liverpool fick en straff till, då för handboll, som Mané sköt i ribban. Han revanscherade sig ett par minuter senare när han petade in 4-0 från nära håll, framspelad av Daniel Sturridge.
Liverpool var nära att göra mål ett par gånger till, men slutresultatet stannade vid 4-0. Liverpool leder nu gruppen med sex poäng, medan Röda Stjärnan är sist med en.
- Jag såg att Napoli och PSG spelade 2-2, men jag kan tänka mig att det var en häftig match. Det kommer fortsätta vara spännande. Gruppen är tuff för oss alla. Vi måste vara redo varje match och förhoppningsvis är vi redo om två veckor, säger Jürgen Klopp enligt BBC efter matchen.
Startelvor:
Liverpool: Alisson - Alexander-Arnold, Gomez, Van Dijk, Robertson - Fabinho, Wijnaldum, Shaqiri - Salah, Firmino, Mané.
Röda Stjärnan: Borjan - Stojkovic, Babic, Degenek, Gobeljic - Krsticic, Jovicic - Srnic, Ebecilio, Fardou Ben - Boakye.