Manchester United tog sig an Liverpool hemma på Old Trafford, i den match som blev uppskjuten då United-supportrar stormade arenan i protest mot ägarna Glazer-familjen.
Med från start fanns svenske Victor Nilsson Lindelöf - och han och United fick en drömstart på matchen.
Efter tio minuter på matchklockan måttade Bruno Fernandes skott i en tämligen snäv vinkel, och skottet styrde Liverpool-backen Nathaniel Phillips in i eget mål bakom Alisson till 1-0 United.
Liverpool jagade en kvittering därefter och den kom sedan i den 34:e minuten. Samme Philips som gjorde självmål till 1-0 vann bollen i efterspelet från en hörna och friställde Diogo Jota, som enkelt kunde stöta in 1-1.
På stopptid i den andra halvleken fulländade sedan Liverpool en vändning. Trent Alexander-Arnold hittade pannan på Roberto Firmino genom en frispark från distans - och Firmino stångade in 2-1 till gästerna.
Bara två minuter in i den andra halvleken utökade sedan Firmino för Liverpool. Alexander-Arnold tryckte i väg ett tungt skott på mål, vilket Dean Henderson inte kunde undvika att släppa retur på - och då höll Firmino sig framme och stötte in 3-1 från nära håll.
United skulle dock komma tillbaka in i matchen. I den 68:e minuten frispelades Marcus Rashford, som iskallt placerade in 2-3 bakom Alisson.
Men Liverpool och Mohamed Salah dödade Uniteds hopp i den 90:e minuten, då egyptiern kontrade in 4-2 till gästerna. Målet gör honom historisk, då han är den förste spelaren på 100 år med att näta på Old Trafford under två olika matcher under en och samma säsong.
Segern blev Liverpools första i Premier League-spelet på Old Trafford sedan 2014. Tre blytunga poäng för Klopps mannar, som nu tar sig förbi West Ham i tabellen och närmare en Champions League-plats. Efter segern skiljer det tre poäng mellan Liverpool på femteplats och Chelsea på fjärdeplats - och då har Liverpool en match mindre spelad.
Efter matchen var Klopp glad över att ta sin första seger på Old Trafford som Liverpool-tränare.
- Det var en bra match, intensivt, precis som derbyn ska vara. Vi behövde vinsten och vi förtjänade den, så allt är bra, säger han enligt Sky Sports.
Han pekar på vad som inte fungerade i inledningen när United hade övertaget.
- Våra mittbackar var lite skakiga med sina passningar i början av matchen, men sen efter det gjorde de en riktigt bra match. Trent (Alexander-Arnold) visade upp fin form idag.
Nathaniel Phillips om självmålet i första halvlek:
- Jag reagerade för sent. Jag trodde att den skulle gå utanför först men sen såg jag hur det skruvade sig in mot mål...
Däremot gläds han åt det faktum att det inte, av någon anledning, räknades som ett självmål.
- Det är bra nyheter. Jag är väldigt nöjd med att höra det.
Härnäst väntar West Brom i helgen, medan Chelsea möter ligatrean Leicester på tisdag.
Startelvor:
Manchester United: Henderson - Wan-Bissaka, Bailly, Lindelöf, Shaw - McTominay, Fred - Rashford, Fernandes, Pogba - Cavani.
Liverpool: Alisson - Alexander-Arnold, Phillips, Williams, Robertson - Wijnaldum, Fabinho, Thiago - Salah, Firmino, Jota.