United kom från en 9-0-seger mot Southampton i veckan, samtidigt som Everton vann med 2-1 borta mot Leeds.
Det var Everton som inledde piggast, där vänsterkanten med Digne/Richarlison tog sig runt fint på kanten. Men inne i straffområdet lyckades de inte ta sig till avslut.
Annars präglades spelet de första 20 minuterna av två lag som prioriterade att ligga rätt defensivt. Farligast blev det när Uniteds Mason Greenwood vek in och avslutade - några meter utanför.
Efter 24 minuter tog United ledningen. Marcus Rashford fick till ett fint inspel som Cavani med enkelhet kunde stånga in med pannan.
I den 37:e minuten drabbades United av ett bakslag - när fransmannen Paul Pogba tvingades utgå med vad som såg ut som en lårskada. Mittfältaren ersattes av Fred.
Strax innan halvtid kunde Bruno Fernandes utöka till 2-0 - genom ett distansskott som gick över Robin Olsen.
Omgående i den andra halvleken tändes hoppet för Everton. Ett halvtaskigt ingripande från De Gea på ett inspel - gjorde att Doucoure kunde peta in returen, 2-1. Och bara minuter efter skickade James Rodriguez in kvitteringen.
Den efterföljande kvarten var United märkbart tagna av det som skett. Men genom en frispark från Luke Shaw, som hittade Mctominays panna, kunde United återta ledningen - med 20 minuter kvar. Målet såg inte otagbart ut för Robin Olsen som halkade.
Länge såg det ut som att United skulle reda ut stormen. Men i matchens sista sekund kunde Dominic Calvert-Lewin skicka in 3-3, vilket även blev det sista som hände i matchen.
- Det finns inget bättre läge att göra mål än så här. Jag kunde inte fira fullt ut för VAR. Jag visste att jag inte tog med hands med inte om jag var offside, säger poängräddaren Calvert-Lewin enligt BBC.
Han fortsätter:
- Vi gav inte upp och det kändes som att vi förtjänade den poängen.
Startelvor:
United: De Gea - Wan-Bissaka, Lindelöf, Maguire, Shaw - Mctominay, Pogba - Greenwood, Fernandes, Rashford - Cavani.
Everton: Olsen - Holgate, Keane, Godfrey, Digne - Davies, Doucoure, Gomes - Rodriguez, Calvert-Lewin, Richarlison.