Arsenal kom till matchen med ett gott självförtroende efter den fina skalpen mot Bayern München i veckan.
I Everton-lägret handlade det i stället om en chans till revansch efter 0-3-förlusten hemma mot Manchester United senast.
Via två nickmål signerade Oliver Giroud och Laurent Koscielny gick Arsenal upp i en 2-0-ledning.
Ross Barkley - som genomgående hållt en väldigt hög nivå i säsongsinledningen - skulle dock kvittera för gästerna i den 44:e minuten.
I den andra halvleken pressade Everton på för ett kvitteringsmål och närmast kom Lukaku som till sin stora besvikelse fick se sin nick gå i ribban och ut.
När gästerna tryckte på fick Arsenal ett par fina möjligheter att punkterna matchen men Tim Howard stod för flera kvalificerade räddningar och det blev inga fler mål i matchen.
I och med segern går Arsenal - som har en match mer spelad än toppkonkurrenterna - upp i serieledning. Everton placerar sig å sin sida på en tionde plats i tabellen.
Så startade lagen:
Arsenal: Cech - Bellerin, Gabriel, Koscielny, Monreal - Coquelin, Cazorla, Oxlade-Chamberlain, Özil, Sanchez - Giroud.
Everton: Howard - Coleman, Stones, Jagielka, Galloway - McCarthy, Barry, Deulofeu, Barkley, Lennon - Lukaku.