Förlusten hemma mot Burnley gör att Hull får väldigt svårt att klara kontraktet i Premier League.
Everton hade ett bollinnehav på 73 procent, skramlade fram 15 hörnor och kom till avslut - men det räckte inte för att överlista Costel Pantilimon i gästande Sunderlands mål.
I stället var det gästerna som kontrade in både 1-0 och 2-0 via märkligt turliga styrningar och tog tre livsviktiga poäng i bottenstriden i lördagens tidiga eftermiddagsmatch.
Leicesters osannolika form
Sunderland satte därigenom press på de bottenlag som skulle spela senare under eftermiddagen - och de flesta svarade.
Leicester parkerade länge som tabelljumbo och på de första 29 omgångarna mäktade laget bara med fyra segrar - men sedan dess har något radikalt hänt.
Hemma mot Southampton tog Leicester enkelt sin sjätte seger på sju försök efter två snabba mål av mittfältaren Riyad Mahrez.
Dubbla förlorare i Hull
Likaledes formstarka Aston Villa tog också en viktig seger då Tom Cleverleys 1-0-mål från den första halvleken blev avgörande. Och till och med krisande Newcastle, som förlorat åtta matcher i rad, lyckades få stopp på blödningen då John Carvers mannar spelade 1-1 hemma mot West Bromwich.
De stora förlorarna i bottenstriden återfanns på KC Stadium, där Hull förlorade mot gästande Burnley - som ändå åker ur Premier League.
För trots att Burnley, som inte hade gjort mål på sex matcher, spräckte både målnollan och fick slut på förlustsviten så räckte inte 1-0-segern mot Hull. De övriga resultaten i bottenstriden gick emot tränaren Sean Dyche och hans lag som inte längre har en teoretisk chans att klara sig kvar i Premier League.
0-1-förlusten innebär att det ser synnerligen svårt ut även för Hull: laget blir kvar under strecket, med två poäng upp till Newcastle, och i de två sista omgångarna möter Steve Bruces mannar topplagen Tottenham och Manchester United.