Målet kom precis innan paus efter en hörna från vänster.
Paulo Dybala skickade iväg en inåtskruvad boll som Mancini vräkte sig fram och var först på och kunde skalla in 1-0 till hemmapublikens stora jubel.
Lazio hade en boll i nät efter en timme när Daichi Kamada satte 1-1, men målet vinkades av efter att det konstaterats att det var offside.
Roma höll ut och kammade hem samtliga tre poäng.
Efter slutvisslan var det irriterat i Lazio där både Matteo Guendozi och Luca Pellegrini försökte ta sig till de firande Roma-spelarna för att säga några väl valda ord, men de motades bort.
Derbysegern var Daniele De Rossis första som Roma-tränare.
– Vi vann derbyt för första gången på länge. Det var mitt tionde derby och jag hade aldrig gjort mål tidigare. Just nu är jag den lyckligaste mannen i världen, säger Romas matchhjälte Gianluca Mancini till DAZN.
Roma är femma i Serie A, med två poäng upp till Bologna som har en match mindre spelad.
Lazio är sjua, nio pinnar bakom Roma.
Se samtliga matcher från Serie A på TV4 Play.